Geometria a regola d’arte

Piergiorgio Odifreddi e Debora Petrina

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Debora Petrina

La geometria si accosta molto semplicemente alla musica, perché la musica è fatta di intervalli e numeri. Perciò in questa serata, dedicata alla geometria, vorrei cominciare con una canzone che parla di spazio e traiettorie, intitolata Asteroide 482.

Se la relazione tra musica e geometria appare piuttosto semplice, forse quella tra geometria e canzone potrebbe sembrare un po’ più lontana. Perciò ho pensato di proporvi alcune “cover”, cioè canzoni molto conosciute, magari anche pop, che però ho voluto decostruire. Ma poi mi sono accorta che la decostruzione, svolta in modo anche molto “artigianale”, è diventata un’architettura fatta di forme e geometrie. Tra le “cover” che vi propongo: Sweet dreams di Annie Lennox ed Exit Music di RadioHead, una versione completamente scomposta, con una introduzione in cinque quarti (a proposito di matematica).

Chiuderò con She Shoe, una canzone che ho composto proprio grazie alla geometria. Nasce infatti da una mia performance di danza, eseguita davanti allo specchio per lavorare sulle proporzioni del corpo e sulle sue asimmetrie. Avevo una mano infilata in una scarpa, che fungeva da terza gamba, e mi divertivo a giocare con forme e prospettive strane, deformate. E dagli spunti che le forme riflesse sullo specchio mi suggerivano, ho tratto ispirazione.

Ascolta un brano cantato e suonato da Debora Petrina

Piergiorgio Odifreddi

L’accostamento di matematica e musica non è casuale. La musica era per i greci l’arte delle Muse, per noi oggi è diventata l’arte per eccellenza. Le arti sono qualcosa di istintivo e creativo, smuovono sentimenti e arrivano direttamente al cuore di chi ne fruisce, invece la matematica sembra proprio il contrario: non vuole i sensi, perché è un’attività puramente cerebrale – o almeno così si crede. Nel mio ultimo libro, C’è spazio per tutti, ho cercato di avvicinare matematica e arti, tentando di mostrare come la prima, in particolare la geometria, e le seconde non siano così distanti come spesso si pensa. Non è facile convincere dell’esistenza di questo legame, ma proverò a farlo ricorrendo ad alcune immagini.

Pensate a come Raffaello rappresenta Pitagora di Samo, matematico e filosofo la cui esistenza è dubbia, ne La Scuola di Atene. Sulla lavagnetta che regge, sono incisi i numeri romani I, II, III, IV e X, fondamentali per l’intera teoria musicale pitagorica. Si narra infatti che Pitagora, accostandosi alla bottega di un fabbro ferraio, abbia udito provenirne sia suoni che stridevano tra loro (ossia dissonanti), sia suoni che stavano bene insieme (ossia consonanti). Desiderando sapere quale fosse la spiegazione di tali dissonanze e consonanze, eseguì alcuni esperimenti. Prese tre coppie di martelli, il cui rapporto tra i pesi dei martelli di ciascuna coppia era 2:1, 3:2 e 4:3, le calò una alla volta sull’incudine, e scoprì che tra i suoni dei martelli si originavano note di altezza diversa, rispettivamente intervalli di ottava, di quinta e di quarta.

Usando piccoli numeri (1, 2, 3, 4) e martelli in rapporti diversi, Pitagora si accorse che i rapporti numerici misurano sia rapporti fisici (i pesi tra i martelli), sia rapporti armonici musicali: l’ottava, la quinta, la quarta, e così via. Dunque già 25 secoli fa si nota un legame strettissimo tra, da una parte, il mondo della natura che si estrinseca attraverso quantità fisiche e, dall’altra, il mondo soggettivo delle arti e dell’umanesimo. Questi due mondi sono messi in comunicazione dalla matematica: lo stesso rapporto matematico misura sia i rapporti tra pesi e lunghezze, sia i rapporti armonici. Perciò Pitagora, che ha compreso questo legame e il valore della matematica, è considerato quasi un nume tutelare sia dagli scienziati sia dagli artisti.

Ora vorrei mostrarvi alcune immagini, in cui il motto “a regola d’arte” – che significa “secondo le regole dell’arte” – si estrinseca nel modo migliore. Spesso le regole dell’arte sono le stesse regole della matematica. Che cosa vi ricorda il nome di Pitagora? Certamente il suo famoso teorema: “In un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti”. Ma una dimostrazione del teorema ce la ricordiamo? Ne esistono tantissime diverse, provenienti da vari luoghi, tempi e culture. Una, per esempio, è incisa sul retro di una moneta del IV sec. a.C. proveniente da un’isola dell’Egeo; un’altra deriva dalla cultura cinese. Questo tipo di dimostrazioni, che purtroppo non s’insegna a scuola, è visuale e intuitiva, priva di testo e formule. Fin qui la regola, ma dove sta l’arte? Osservando certi quadri di Piet Mondrian o di Theo van Doesburg, è stupefacente notare quanto assomiglino alle quelle dimostrazioni. Ma allora, c’è differenza tra matematica e arte? Poca: gli artisti sono più creativi, i matematici sono più formali, ma si muovono più o meno nella stessa disciplina.

Esistono molte altre dimostrazioni del teorema. Un bambino, per esempio, stupito quando udì per la prima volta l’enunciazione del teorema, si chiuse in camera sua e lo dimostrò da solo, semplicemente tirando l’altezza del triangolo e pensando. Il bambino si chiamava Albert Einstein, e la sua dimostrazione, completamente diversa da quelle che abbiamo visto, si trova già in una tavoletta babilonese di 4000 anni fa, una delle più antiche testimonianze della matematica. Il modo in cui Einstein dimostrò il teorema è molto simile al modo in cui Gino Severini dipinse Maternità, un quadro in cui, almeno a prima vista, non c’è nulla di matematico. Eppure, leggendo un libro in cui si racconta la realizzazione del quadro, scopriamo che al pittore bastò prendere una tela rettangolare e tirare la diagonale formando così due triangoli rettangoli. Dopo aver tracciato l’altezza di uno dei due, disegnò parallelamente la mano sinistra della mamma e il corpo del bambino.

Vorrei segnalarvi un’altra cosa che i pitagorici hanno scoperto. Se prendiamo un rettangolo (che non sia un quadrato), e con le forbici tagliamo il quadrato costruito sul lato più corto, rimane una striscia che può essere di dimensioni differenti; ma esiste un unico rettangolo che, privato del quadrato costruito sul lato piccolo, genera una striscia rettangolare delle stesse proporzioni del rettangolo di partenza. Questo si chiama “rettangolo aureo”: si può costruire un altro quadrato sul lato più corto, tagliarlo, e ottenere un nuovo rettangolo con le stesse proporzioni del rettangolo di partenza, e così via. Il quadro La flagellazione di Piero della Francesca riproduce esattamente il rettangolo aureo: una scena quadrata sulla sinistra e una scena rettangolare sulla destra. Così facendo, il pittore ha creato una proporzione senza sforzo, automaticamente. E la spirale aurea, che deriva dal rettangolo aureo, si può trovare anche in natura. Capiamo allora che la matematica non è solo un’attività che lega l’umanesimo alle scienze, ma qualcosa a cui la natura era giunta già molto prima delle scoperte dei matematici.

Un modo per riprodurre in maniera diversa le proporzioni auree è annodare una strisciolina di carta: il nodo riprodurrà la forma di un pentagono regolare. Il rapporto fra le diagonali del pentagono e i suoi lati è esattamente lo stesso rapporto che intercorre tra il lato lungo e il lato corto del rettangolo aureo: la stessa proporzione aurea. Le diagonali del pentagono formano una stella a cinque punte che, a partire dai pitagorici, che l’hanno usata come emblema della loro confraternita, è stata ripresa in modo quasi universale come simbolo delle proporzioni. Per esempio, nel bozzetto di un’opera di Salvador Dalì, La Leda – quadro che apparentemente non ha nulla di matematico – ricorrono il cerchio, il pentagono, la stella pitagorica, addirittura la formula della sezione aurea. Dalì non ha fatto altro che disegnare dentro la stella la figura umana, che così è diventata perfettamente proporzionata.

Le figure della geometria sono astrazioni dalla natura che, una volta astratte, possiamo applicare dove preferiamo. Gli artisti, in particolare, sono geometri che hanno in più una dote figurativa. Ho cercato di illuminare solo una piccola porzione delle connessioni tra matematica (geometria) e arte, ma questo ci basta per affermare l’esistenza di regole matematiche che gran parte dell’arte spesso segue consapevolmente.

Ascolta l’intervento di Piergiorgio Odifreddi